Matematicas

SUCESION

• Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.


La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.
                                               
                                                   PROGRESION ARITMETICA
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por

,    n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.

   n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

de diferencia

tenemos que:

...

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

(I)

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos y () de la progresión anterior y pongámolos en función de :

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

(II)

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

• Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ()

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

• Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ()

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

• Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ()

 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA SUCESION

 Podemos observar en los ejemplos anteriores que a cada número natural le corresponde un término de la sucesión y solamente uno, y que los términos de la sucesión pueden ser elementos de cualquier conjunto numérico.
Esto nos da la idea que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números naturales y su recorrido cualquier conjunto numérico. 
DEFINICIÓN: Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.
En símbolos:
                s: lN  ®  lR  /  " n Î lN: s(n) = a_n 

Es decir que:

- a₁ es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión

               1  ®  s(1) = a₁ 

- a₂ es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión

               2  ®  s(2) = a₂

                   3  ®  s(3) = a₃

                          

De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, a_n). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.

Polinomios de una variable

Consideramos un “Polinomio” en el álgebra a aquella estructura finita conformada por uno o más términos.

Donde tales términos son denominados (Racionales enteros), cuando se afirma que los coeficientes se encuentran unidos con las incógnitas por medio de una operación unica, la multiplicación. Anexando que término a término se encuentran unidos bajo operaciones elementales: Suma y Resta.

Algunos textos citan a tales operaciones como “Conectores” o “Operaciones binarias”.

De lo contrario si las incógnitas se encuentran unidas con los coeficientes mediante el empleo de operaciones alternas a la multiplicación como es el caso de las operaciones: Radicación , División , etc. se acostumbra denominar a tal estructura como: Multinomio.

El hecho de la afirmación (Una variable) da a conocer que tal estructura se encuentra unicamente ligada bajo una sola clase de incógnitas como es el caso siguiente:

Donde claramente se puede observar que existe solo una clase las (x). Cabe recordar que denominamos incógnita a un valor desconocido y el proceso de obtener las raíces de un polinomio implica conocer el valor de las incógnitas.

Otros concepto clave dentro de todo esto es: coeficiente, el cual denota la cantidad de veces que se posee un mismo termino..

Partiendo del concepto de estructura algebraica con enfoque a la idea de polinomio se va creado una clasificación con el fin de facilitar el hecho de la identificación o bién la manipulación de estas con diversos propositos. Por ejemplo:

- Monomio -

Expresión algebraica con un solo término.

- Binomio -

Expresión algebraica con dos términos.

- Trinomio -

Expresión algebraica con tres términos.

- Polinomio -

Expresión algebraica con uno o más términos.

 

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente. 

 

  Binomio con un término común

El producto de dos binomios del tipo  es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que .

Tendremos que:

Es decir , tal como queríamos demostrar.

Ejemplo:

Comprobar que .

Solución: Tendremos .

Ejemplo:

Comprobar que

Solución: Tendremos .

Ejemplo:

Comprobar que .

Solución: Tendremos .

 FACTORIZACION

 En matemáticas, la factorización (o factoreo) es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.